%%% Cut Elimination in Classical Sequent Calculus
%%% Author: Frank Pfenning

ce' : @ -> # -> type.
%mode ce' +E -F.

ce_cut'  : ce' (cut^ D E) F
	    <- ({p:pos A} ce' (D p) (D' p))
	    <- ({n:neg A} ce' (E n) (E' n))
	    <- ca' A D' E' F.

ce_axiom': ce' (axiom^ N P) (axiom' N P).

ce_andr' : ce' (andr^ D1 D2 P) (andr' D1' D2' P)
	    <- ({p1} ce' (D1 p1) (D1' p1))
	    <- ({p2} ce' (D2 p2) (D2' p2)).

ce_andl1': ce' (andl1^ N1 N) (andl1' N1' N)
	    <- ({n1} ce' (N1 n1) (N1' n1)).

ce_andl2': ce' (andl2^ N2 N) (andl2' N2' N)
	    <- ({n2} ce' (N2 n2) (N2' n2)).

ce_impr' : ce' (impr^ D1 P) (impr' D1' P)
	    <- ({n1}{p2} ce' (D1 n1 p2) (D1' n1 p2)).

ce_impl' : ce' (impl^ D1 D2 N) (impl' D1' D2' N)
	    <- ({p1} ce' (D1 p1) (D1' p1))
	    <- ({n2} ce' (D2 n2) (D2' n2)).

ce_orr1' : ce' (orr1^ D1 P) (orr1' D1' P)
	    <- ({p1} ce' (D1 p1) (D1' p1)).

ce_orr2' : ce' (orr2^ D2 P) (orr2' D2' P)
	    <- ({p2} ce' (D2 p2) (D2' p2)).

ce_orl'  : ce' (orl^ D1 D2 N) (orl' D1' D2' N)
	    <- ({n1} ce' (D1 n1) (D1' n1))
	    <- ({n2} ce' (D2 n2) (D2' n2)).

ce_notr' : ce' (notr^ D1 P) (notr' D1' P)
	    <- ({n1} ce' (D1 n1) (D1' n1)).

ce_norl' : ce' (notl^ D1 N) (notl' D1' N)
	    <- ({p1} ce' (D1 p1) (D1' p1)).

ce_truer': ce' (truer^ P) (truer' P).

ce_falsel': ce' (falsel^ N) (falsel' N).

ce_forallr': ce' (forallr^ D1 P) (forallr' D1' P)
	      <- ({a:i} {p1:pos (A1 a)} ce' (D1 a p1) (D1' a p1)).

ce_foralll': ce' (foralll^ T D1 N) (foralll' T D1' N)
	      <- ({n1} ce' (D1 n1) (D1' n1)).

ce_existsr': ce' (existsr^ T D1 P) (existsr' T D1' P)
	      <- ({p1} ce' (D1 p1) (D1' p1)).

ce_existsl': ce' (existsl^ D1 N) (existsl' D1' N)
	      <- ({a:i} {n1:neg (A1 a)} ce' (D1 a n1) (D1' a n1)).